Rylah's Study & Daily Life
03. 수의 분해 본문
거듭제곱
거듭제곱이란 주어진 수를 주어진 횟수만큼 곱하는 연산을 의미합니다.
즉, 숫자 a를 n번 곱한 것을 an으로 표기하고, a의 n제곱이라고 읽습니다.
이때 a를 밑(base), n을 지수(exponentiation)라고 부릅니다.
실수 a와 양의 정수 n 에 대하여,
예제) 23 = 2 × 2 × 2 = 8
예제) (-3)3 = (-3) × (-3) × (-3) = -27
단, 거듭제곱은 같은 밑(base)을 가져야만 한데 묶을 수 있습니다.
예제) 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32
거듭제곱의 특징
1. a0 = 1
예제) 20 = 1, 10000 = 1
2. a1 = a
예제) 31 = 3, 20001 = 2000
3. a-n = 1 / an
예제) 3-2 = 1 / 32 = 1 / 9
지수법칙(law of exponent)
거듭제곱에서는 다음과 같은 법칙이 성립합니다.
1. 지수의 합 : am × an = am+n (m, n이 양의 정수일 때)
예제) 32 × 33 = (3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35
2. 지수의 곱 : ( am )n = amn (m, n이 양의 정수일 때)
예제) (42)5 = 42 × 42 × 42 × 42 × 42 = 42+2+2+2+2 = 42×5 = 410
3. 지수의 차 :
(1) am ÷ an = am-n (m ≥ n일 때)
예제) 25 ÷ 22 = 25-2 = 23
(2) am ÷ an = 1 / an-m (m＜n일 때)
예제) 32 ÷ 37 = 1 / 37-2 = 1 / 35
제곱근(square root)
제곱근(square root)이란 간단히 말해 제곱의 반대 개념입니다..
즉, 제곱해서 a가 되는 실수를 모두 a의 제곱근(루트 a)이라고 부르며, 기호로는 '√'을 사용합니다.
실수 a에 대하여 x^2 = a를 만족시키는 x가 존재할 때, 이 x를 a의 제곱근이라고 합니다.
예제)
제곱근 구하기
앞선 예제와 같이 실수 a에 따라 제곱근의 개수가 달라질 수 있습니다.
1. a > 0 이면 절댓값은 같고 부호만 다른 2개의 제곱근을 가집니다.
예제)
2. a = 0 이면 제곱근은 0 하나 뿐입니다.
예제)
3. a < 0 이면 허수와 복소수라는 개념까지 알아야 하므로, 코딩수학에서는 다루지 않습니다.
소수(prime number)
소수(prime number)란 1과 자기 자신으로밖에 나누어지지 않는 1보다 큰 자연수를 의미합니다.
즉, 소수는 1과 자기 자신, 단 두 개의 약수만을 가집니다.
소수 예제) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
단, 1은 소수가 아니며, 2는 유일한 짝수인 소수입니다.
합성수(composite number)
합성수(composite number)란 1과 자기 자신 이외의 또 다른 수를 약수로 가지는 자연수를 의미합니다.
즉, 합성수는 1과 자기 자신 외에 또 다른 약수를 가지므로 언제나 세 개 이상의 약수를 가집니다.
합성수 예제) 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, ...
단, 1은 소수도 아니고 합성수도 아니며, 1보다 큰 모든 자연수는 소수이거나 합성수이다.
소인수분해(prime factorization)
소인수분해(prime factorization)란 합성수를 소수들의 곱으로만 나타내는 것을 의미합니다.
합성수를 소인수분해한 결과는 소인수들의 순서를 생각하지 않으면 오직 한 가지 형태만이 존재합니다.
예제) 12를 소인수분해하시오.
12의 인수 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} → 12의 소인수 = {2, 3} → 12 = 22 × 31
∴ 22 × 31
소인수분해 방법
소인수분해를 하는 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다.
1. 해당 합성수를 소인수로 몫이 소수가 될 때까지 나눗셈을 계속합니다.
2. 사용된 모든 소인수와 마지막 몫을 지수의 형태로 곱합니다.
예제) 72를 소인수분해하시오.
∴ 72 = 23 × 32
최대공약수(Greatest Common Divisor, GCD)
공약수(common divisor)란 두 수 이상의 여러 수의 공통된 약수를 의미합니다.
최대공약수(GCD)란 두 수 이상의 여러 수의 공약수 중 최대인 수를 가리킵니다.
두 수 a, b의 최대공약수는 gcd(a, b) 또는 (a, b)로 나타냄.
예제) 72와 90의 최대공약수를 구하시오.
∴ gcd(72, 90) = 2 x 32 = 18
만약 gcd(a, b) = 1이면, 두 수 a, b는 서로소(coprime) 관계에 있다고 합니다.
최소공배수(Lowest Common Multiple, LCM)
공배수(common multiple)란 두 수 이상의 여러 수의 공통된 배수를 의미합니다.
최소공배수(LCM)란 두 수 이상의 여러 수의 공배수 중 최소인 수를 가리킵니다.
두 수 a, b의 최소공배수는 lcm(a, b) 또는 [a, b]로 나타냄.
예제) 24와 30의 최소공배수를 구하시오.
∴ lcm(24, 30) = 23 x 3 x 5 = 120
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