Rylah's Study & Daily Life
06. 논리와 수학 본문
불리언(boolean)
불리언(boolean)은 논리학에서 참(true)과 거짓(false)을 나타내는 데 사용됩니다.
또한, 논리 연산(logical operation)이란 주어진 논리식을 판단하여 참(true)과 거짓(false)을 결정하는 연산입니다.
예제) 3 > 5 = true
예제) -2 < -7 = false
이러한 논리 연산의 결과는 진리표(truth table)를 만들어보면 손쉽게 확인할 수 있습니다.
다음은 논리 연산의 모든 동작 결과를 보여주는 진리표입니다.
AB논리곱 (A∧B)논리합 (A∨B)부정 (￢A)
| 1 (true) | 1 (true) | 1 (true) | 1 (true) | 0 (false) |
| 1 (true) | 0 (false) | 0 (false) | 1 (true) | 0 (false) |
| 0 (false) | 1 (true) | 0 (false) | 1 (true) | 1 (true) |
| 0 (false) | 0 (false) | 0 (false) | 0 (false) | 1 (true) |
예제) (4 < 9) ∧ (-5 < -2) = true ∧ true = true
예제) (8 ≥ 8) ∨ (0 > 7) = true ∨ false = true
예제) ￢(-3 ≤ 7) = ￢true = false
또한, 조건문과 반복문 등 제어문의 동작을 이해하는 데도 도움을 줍니다.
프로그래밍에서의 불리언
예전에는 많은 프로그래밍 언어들이 참을 숫자 1로, 거짓을 숫자 0으로 표현했습니다.
하지만 최신 프로그래밍 언어들은 대부분 별도의 불리언 자료형을 제공하고 있습니다.
JAVA 예제) boolean a = true;
C++ 예제) bool b = false;
Python 예제) c = True
PHP 예제) d = true;
명제(proposition)
명제(proposition)란 그 내용이 참인지 거짓인지를 누구나 명확하게 판단할 수 있는 식이나 문장을 의미합니다.
예제) 서울은 대한민국의 수도이다. : 참인 명제
예제) 파리는 미국의 수도이다. : 거짓인 명제
예제) 빨간색은 이쁘다. : 참과 거짓을 판단할 수 없으므로 명제가 아님.
어떤 명제가 'p이면 q이다.’의 형태로 표현될 때,
p를 가정, q를 결론이라고 하며, 기호로는 p → q와 같이 나타냄.
명제에서 부정은 '~'기호로 표현합니다.
역, 이, 대우
원 명제의 가정과 결론을 바꾸어 놓은 명제를 해당 명제의 역(逆)이라고 합니다.
그리고 원 명제의 가정과 결론을 각각 부정한 명제를 해당 명제의 이(裏)라고 합니다.
마지막으로 원 명제의 역(逆)의 가정과 결론을 각각 부정한 명제를 해당 명제의 대우(對偶)라고 합니다.
위의 그림에서 빨간색 화살표는 역, 초록색 화살표는 이, 파란색 화살표는 대우 관계를 나타냅니다.
원 명제와 역과 이, 그리고 대우 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
1. 원 명제와 그 명제의 대우는 언제나 같은 불리언 값을 가집니다.
예제)
명제 : 숫자 a가 짝수이면, 3a는 짝수이다. (참)
대우 : 3a가 짝수가 아니면, 숫자 a는 짝수가 아니다. (참)
2. 원 명제의 역과 이는 언제나 같은 불리언 값을 가집니다.
예제)
명제 : 두 삼각형이 합동이면, 두 삼각형의 넓이는 같다. (참)
역 : 두 삼각형의 넓이가 같으면, 두 삼각형은 합동이다. (거짓)
이 : 두 삼각형이 합동이 아니면, 두 삼각형의 넓이는 같지 않다. (거짓)
경우의 수(number of cases)
경우의 수(number of cases)란 한 번의 시행으로 일어날 수 있는 사건의 모든 가짓수를 의미합니다.
예를 들어 동전 던지기에서의 경우의 수는 동전의 앞면과 뒷면이 나올 수 있으므로, 2가 됩니다.
또한, 주사위를 던질 때의 경우의 수는 1부터 6까지만 나올 수 있으므로, 6이 됩니다.
합의 법칙
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어날 경우의 수가 m이고 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이면,
사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 m + n이 됩니다.
예제) 1부터 10까지의 숫자가 적힌 10장의 카드가 있습니다. 이 중에서 임의의 카드 한 장을 뽑을 경우 3의 배수 또는 4의 배수가 나올 경우의 수를 구하시오.
풀이) 1부터 10까지의 카드 중 3의 배수를 뽑을 경우는 {3, 6, 9}의 3가지이고, 4의 배수를 뽑을 경우는 {4, 8}의 2가지입니다. 이 두 사건은 동시에 발생하지 않으므로, 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있습니다.
∴ 1부터 10까지의 카드 중 임의의 카드 한 장을 뽑았을 때 3의 배수 또는 4의 배수가 나올 경우의 수는 3 + 2 = 5가 됩니다.
곱의 법칙
사건 A가 일어날 경우의 수가 m이고, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이면,
사건 A 와 B가 동시에(연이어) 일어날 경우의 수는 m × n이 됩니다.
예제) 동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던졌을 경우 동전은 뒷면이 나오고 주사위는 홀수가 나오는 경우의 수를 구하시오.
&
풀이) 동전과 주사위를 동시에 던졌으므로, 이 두 사건은 서로에게 영향을 주지 않습니다.
따라서 동전의 뒷면이 나오는 경우는 2가지이고, 주사위의 홀수가 나오는 경우는 3가지입니다.
∴ 동전은 뒷면이 나오고 주사위는 홀수가 나올 경우의 수는 2 × 3 = 6이 됩니다.
예제) A, B, C 세 명의 친구들을 한 줄로 세울 경우 순서에 대한 경우의 수를 구하시오.
풀이) 세 명의 친구들을 한 줄로 세울 경우 첫 번째 자리에 대한 경우의 수는 {A, B, C}의 3가지입니다.
그리고 첫 번째 자리에는 누군가가 서 있기 때문에 두 번째 자리에 대한 경우의 수는 2가지로 줄어듭니다.
마지막으로 세 번째 자리에 대한 경우의 수는 첫 번째와 두 번째 자리에 누군가가 이미 서 있기 때문에 1가지로 줄어듭니다.
이 사건들은 연이어 발생되므로, 곱의 법칙을 사용하여 경우의 수를 구할 수 있습니다.
∴ A, B, C 세 명의 친구들을 한 줄로 세울 경우 순서에 대한 경우의 수는 3 × 2 × 1 = 6이 됩니다.
