05. 수의 집합

부등식(inequality)

부등식(inequality)이란 두 수 또는 두 식의 관계를 부등호를 사용하여 표현한 식입니다.

 

예제) 'X가 Y보다 크다' ⇒ 'X > Y'

 

부등식에 대한 더욱 자세한 내용은 중학교 수학 과목에서 배우실 수 있습니다.

부등식은 대부분의 프로그래밍 언어에서 사용되는 조건문과 같은 제어문을 이해하는 데 도움을 줍니다.

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부등호

부등식에 사용할 수 있는 부등호는 다음과 같습니다.

부등호부등식 예제설명

>	x > a	x가 a보다 크다.
<	x < a	x가 a보다 작다.
≥	x ≥ a	x가 a보다 크거나 같다.
≤	x ≤ a	x가 a보다 작거나 같다.
≫	x ≫ a	x가 a보다 아주 크다.
≪	x ≪ a	x가 a보다 아주 작다.

 

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부등식의 성질

부등식은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

 

1. 부등식은 양변에 같은 수나 식을 더하거나 빼도 부등호의 방향이 바뀌지 않습니다.

예제) 8 > 4 ⇒ 8 - 3 > 4 - 3 ⇒ 3 > 1

 

2. 부등식은 양변에 양의 부호를 가지는 같은 수나 식을 곱하거나 나누어도 부등호의 방향이 바뀌지 않습니다.

예제) 8 > 4 ⇒ 8 × 2 > 4 × 2 ⇒ 16 > 8

 

3. 부등식은 양변에 음의 부호를 가지는 같은 수나 식을 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다.

예제) 8 > 4 ⇒ 8 / (-2) > 4 / (-2) ⇒ -4 < -2

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부등식 예제

현재 정우의 통장에는 12,000원, 민지의 통장에는 14,000원이 예금되어 있습니다.

다음 달부터 정우는 매월 1,500원씩 예금을 하고, 민지는 매월 1,200원씩 예금을 한다고 할 때 정우가 예금한 금액이 민지가 예금한 금액보다 더 많아지는 것은 몇 개월째부터인지 구하시오.

 

풀이)

몇 개월째인지를 구해야 하므로, 월을 x로 놓습니다.

정우는 현재 12,000원이 예금되어 있고, 매월 1,500원씩 예금을 하게 되면, x개월 뒤의 정우의 총 예금 금액은
(12000 + 1500x)원이 됩니다.

마찬가지로 민지는 현재 14,000원이 예금되어 있고, 매월 1,200원씩 예금을 하게 되면, x개월 뒤의 정우의 총 예금 금액은
(14000 + 1200x)원이 됩니다.

 

문제에서 정우가 예금한 금액이 민지가 예금한 금액보다 많아진다고 했으니 부등식은

(12000 + 1500x) > (14000 + 1200x)이 됩니다.

 

이 부등식을 풀어보면,

12000 + 1500x > 14000 + 1200x

1500x - 1200x > 14000 - 12000

300x > 2000

x > 6.67

 

∴ 정우가 예금한 금액이 민지가 예금한 금액보다 7개월째부터 더 많아집니다.

 

수열(sequence)

수열(sequence)이란 자연수를 정의역으로 갖는 함수나 그 함수의 결과로 얻어지는 원소들을 나열한 것을 의미합니다.

수열을 이루고 있는 각 수를 항(term)이라고 하며, 순서대로 첫째 항(첫항), 둘째 항, 셋째 항 등으로 읽습니다.

또한, 특정되지 않은 임의의 항을 제 n항이라고 부르며, 이것을 수열의 일반항이라고 합니다.

 

만약 수열이 일정한 규칙을 가질 경우 그 규칙에 따라 등차수열, 등비수열 등으로 구분할 수 있습니다.

이러한 수열은 원소가 순서를 가지며, 중복이 허용된다는 점에서 집합과는 구별됩니다.

 

수열의 표현

1. 수열의 항을 순서대로 나열하여 표현 : {1, 3, 5, 7, ...} 또는 (1, 3, 5, 7, ...)

2. 일반항으로 표현가능한 경우 : {2n - 1}

 

위의 두 수열은 모두 홀수의 수열을 가리키는 수열의 표현입니다.

 

 

수열에 대한 더욱 자세한 내용은 고등학교 수학 과목에서 배우실 수 있습니다.

수열은 요즘 주목받고 있는 빅 데이터 분석 프로그래밍이나 통계 프로그래밍을 이해하는 데 도움을 줍니다.

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등차수열(arithmetic sequence)

등차수열(arithmetic sequence)이란 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 가리킵니다.

이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 항에 대해서 공통적으로 나타나는 차이이므로 공차(common difference)라고 부릅니다.

 

예를 들어, 앞서 살펴본 홀수의 수열은 첫항이 1이고, 공차가 2인 등차수열인 것입니다.

 

예제) 첫항이 4이고 공차가 3인 등차수열은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

풀이) { 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... } 또는 { 3n+1 }

 

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등비수열(geometric sequence)

등비수열(geometric sequence)이란 수열의 각 항이 그 앞의 항에 일정한 수를 곱한 것으로 이루어진 수열을 가리킵니다.

따라서 첫항은 0이 되어서는 안되며, 곱하는 일정한 수를 공비(common ratio)라고 부릅니다.

 

등비수열

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같습니다.

 

예제) 첫항이 1이고 공비가 3인 등비수열은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

: { 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... } 또는 { 3n-1 }

 

 

예제) 첫항이 4이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

: { 4, -4, 4, -4, 4, -4, 4, ... } 또는 { 4(-1)n+1 }

행렬(matrix)

행렬(matrix)이란 1개 이상의 수나 식을 사각형 모양으로 나열한 것을 의미합니다.

이러한 행렬은 다음과 같이 대괄호([])를 사용하여 나타낼 수 있습니다.

 

 

위의 행렬은 4개의 원소를 가지는 2 × 2 행렬입니다.

 

이때 행렬의 가로줄을 행(row)이라고 부르고, 세로줄을 열(column)이라고 부릅니다.

또한, 행렬의 특정 성분은 다음과 같이 두 개의 아래첨자를 사용하여 가리킬 수 있습니다.

 

 

예를 들어 a21은 행렬에서 2행 1열에 위치한 원소를 가리킵니다.

 

행렬은 자료구조의 하나인 배열(array)을 이해하는 데 매우 큰 도움을 도움을 줍니다.
또한, 영상처리나 3D 프로그래밍에서 영상 데이터를 처리하거나 빅 데이터 등을 분석할 때에도 많이 사용합니다.

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행렬의 연산

1. 크기와 모양이 같은 행렬은 원소 별로 더하거나 뺄 수 있습니다.

 

예제) 행렬 A = 

와 행렬 B = 

의 합을 구하시오.

풀이) 

 

∴ A + B = 

 

2. 상수와 행렬의 곱셈은 행렬의 각 원소에 해당 상수를 곱하면 됩니다.

 

예제) 상수 3과 행렬 A = 

의 곱을 구하시오.

풀이) 

 

∴ 3A = 

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프로그래밍에서의 배열(array)

프로그래밍에서 배열은 같은 종류의 데이터를 많이 다뤄야 하는 경우에 사용할 수 있는 가장 기본적인 자료 구조입니다.

 

배열(array)은 같은 타입의 변수들로 이루어진 유한 집합으로 정의됩니다.

배열을 구성하는 각각의 값을 배열 요소(element)라고 하며, 배열에서의 위치를 가리키는 숫자는 인덱스(index)라고 합니다.

 

 

 

배열에 대한 더 자세한 사항은 티씨피스쿨의 각 프로그래밍 언어 수업에서 확인할 수 있습니다.

 

출처 : http://www.tcpschool.com/