[BOJ/C++] 6588. 골드바흐의 추측

https://www.acmicpc.net/problem/6588

6588번: 골드바흐의 추측

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

해결 방법

1. 골드 바흐의 추측이란?

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A8%EB%93%9C%EB%B0%94%ED%9D%90%EC%9D%98_%EC%B6%94%EC%B8%A1

골드바흐의 추측 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

강한 골드바흐의 추측에 관한 문제라고 파악이 된다.

 

1. Brute Force 방법

 - 사실 n의 값이 100만인 것을 본 이상 시도해서는 안되는 방법이다.

에라토스테네스의 체를 계산하고 O(NloglogN) 2중 loop로 min max를 더해서 일치하는 값이 빨리나오는 것을 찾는 것이다.

 

이 방법은 Time Complexity가 O(N^2) + O(NloglogN)으로 O(N^2)이 된다. 시간초과가 뜰 수 밖에 없다.

 

2. 에라토스테네스는 어쩔수가 없다.

 소수를 이용하는 것이기에 소수를 거르기 위한 에라토스테네스를 수정하는 것은 불가능하다. 그렇다면 합을 구하는 데서 시간 복잡도를 줄여야 하는 것이다.

 

target n이 주어지고 작은 소수부터 구한 다음 n - 작은 소수 = 큰 소수가 되는지 찾는 방법이다.

 이 방법은 O(N)의 방법이 된다.

 

그래서 O(NloglogN) + O(N)으로 O(NloglogN)인 풀이가 완성된다.

// Code Plus BasicA
// 0x00. Math
// Written by Rylah
// Written Date : 2022.01.14
// https://minteul.tistory.com/311
// https://www.acmicpc.net/source/37543293

// 6588. 골드바흐의 추측
// use Eratos and Arraysum
// n = Eratos[i] + Eratos[n - i]
// First Find is Solved
// not Found print "Goldbach's conjecture is wrong.\n"

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int Eratos[1000003];

int main(void)
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);

	for (int i = 2; i < 1000003; i++)
		Eratos[i] = i;

	for (int i = 2; i < 1000003; i++)
	{
		for (int j = i + i; j < 1000003; j += i)
		{
			if (Eratos[j] == 0)
				continue;
			Eratos[j] = 0;
		}
	}

	int n = -1;
	while (n != 0)
	{
		cin >> n;
		if (n == 0) break;
		
		int maxValue = 0;
		bool found = false;
		for (int i = 2; i < 1000001; i++)
		{
			if (Eratos[i] != 0)
			{
				maxValue = n - i;
				if (Eratos[maxValue] != 0)
				{
					found = true;
					cout << n << " = " << i << " + " << maxValue << "\n";
					break;
				}
			}
		}
		if (found == false)
			cout << "Goldbach's conjecture is wrong.\n";
	}

	return 0;
}